Question

【题目】如图，在矩形中，，点为边上一点，且，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，当为等腰三角形时，的长为__________．

Answer 1

【答案】3或

【解析】

①当BC=CM时，△BCM为等腰三角形，

②当BM=CM时，当△BCM为等腰三角形时，

③当BC=BM=3时，由折叠的性质得，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．

：①如图1，当BC=CM时，△BCM为等腰三角形，

∴点M落在CD边上，如图1，DN=AD=3，

∴四边形APMD是正方形，

∴AP=3，∵AB=CD=6，

∴BP=3；

②如图2，当BM=CM时，当△BCM为等腰三角形时，

，

∴点M落在BC的垂直平分线上，如图2，

过M作BC的垂直平分线交AD于H交BC于G，

∴

∵将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，

∴AD=DM，

∴，

∴∠ADM=60°，

∴∠ADP=∠PDM=30°，

∴，

∴；

③当BC=BM=3时，由折叠的性质得，DM=AD=3，

∴DM+BM=6，而，

∴DM+BM＜BD，故这种情况不存在，

综上所述，BP的长为3或；

故答案为：3或．