题目内容
如图2 - 64所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O，M两点，OM＝4；矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A，D在抛物线上．
(1)请写出P，M两点的坐标，并求这条抛物线的解析式；
(2)设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；
(3)连接OP，PM，则△PMO为等腰三角形．请判断在抛物线上是否还存在点Q(除点M外)，使得△OPQ也是等腰三角形(不必求出Q点的坐标)，简要
说明你的理由．
解：(1)由题意知点P的坐标为(2，4)，点M的坐标为(4，0)，故可设抛物线的解析式为y＝a(x－2) 2+4．因为此抛物线经过点M(4，0)，所以0＝a(4－2)2 +4，解得a=－l，所以抛物线的解析式为y=－(x—2)2+4＝－x2+4x． (2)设A点的坐标为A(x，y)，其中2<x<4，则AD＝BC=2x—4，AB=CD＝y．矩形的周长l=2(AB+AD)＝2(y+2x—4)=2(－x2+4x+2x—4)=—2x2+12x—8=—2(x—3) 2+10．因为2<3<4，所以当x=3时，矩形的周长l最大，最大值为10． 
(3)存在．理由如下：由题意可得OM＝4，OP=PM=2
,∴OM≠PM，作OP的垂直平分线一定能与抛物线相交，且交点即为Q点．
练习册系列答案
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(a≠0）与一次函数y=kx
)2－
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