Question

O是锐角三角形△ABC的外心，线段OA，BC的中点分别为M，N．∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN，则∠OMN=________．

Answer 1

12°
分析：连接ON．设∠OMN=x，根据已知条件和圆周角定理即可发现三角形OMN是等腰三角形，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，得到ON=OB，从而求得角的度数．
解答：解：连接ON．
设∠OMN=x，则∠ABC=4x，∠ACB=6x．
∴∠NOC=180°-10x，∠AOC=8x，
∴∠ONM=180°-（180°-10x+8x+x）=x，
∴△MON为等腰三角形，
又OA=OB，M是OA的中点，
∴ON=OB．
∴∠OBN=30°，
∴180°-10x=60°，
∴x=12°．
故答案为12°．
点评：此题综合运用了圆周角定理、三角形的外心的性质和直角三角形的性质．