Question

已知点I是锐角三角形ABC的内心，A₁、B₁、C₁分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在△A₁B₁C₁的外接圆上，则∠ABC等于

 

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Answer 1

分析：首先要抓住I是内心，即是三角形角平分线的交点，即可得∴∠DBI=

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∠ABC，又由A₁、B₁、C₁分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，可得ID=A₁D=

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2

IA₁，∠BDI=90°，即可求得∠ABC的度数．

解答：解：∵I是锐角三角形ABC的内心，
∴∠DBI=

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∠ABC，
∵A₁、B₁、C₁分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，
∴ID=A₁D=

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IA₁，∠BDI=90°，
∵点B在△A₁B₁C₁的外接圆上，
∴IB=IA₁，
∴ID=

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IB，
∴∠IBD=30°，
∴∠ABC=60°．
故答案为：60°．

点评：此题考查了三角形的内心与对称性，以及直角三角形的知识．注意此题图形复杂，仔细识图，合理应用数形结合思想解题的关键．