Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC与AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角△PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=8，PB=1，则QE=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：取AB中点D，连接FD，根据等腰直角三角形的性质，由△ABC为等腰直角三角形得到AC=BC=4

2

，∠A=45°，再根据点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则AD=BD=4，DP=3，EF为△ABC的中位线，于是可判断△ADF为等腰直角三角形，得到∠FDA=45°，利用三角形中位线的性质得EF∥AB，EF=

1

2

AB=4，根据平行线性质得∠EFP+∠DFP=45°；又由于△PQF为等腰直角三角形，则∠EFP+∠EFQ=45°，所以∠DFP=∠EFQ，然后根据有两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似，得出△FDP∽△FEQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得．

解答：解：连结FD，D是AB的中点，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB=8，PB=1，
∴AC=BC=4

2

，∠A=45°，
∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，AB=8，PB=1，
∴AD=BD=4，DP=DB-PB=4-1=3，EF、DF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB=4，DF=

1

2

BC=2

2

，∠EFP=∠FPD，
∴∠FDA=45°，

DF

EF

=

2

2

∴∠DFP+∠DPF=45°，
∵△PQF为等腰直角三角形，
∴∠PFE+∠EFQ=45°，FP=FQ，
∴∠DFP=∠EFQ，
∵△PFQ是等腰直角三角形，
∴

PF

FQ

=

2

2

，
∴

DF

EF

=

PF

FQ

，
∴△FDP∽△FEQ，
∴

QE

DP

=

EF

FD

=

2

，
∴QE=

2

•DP=3

2

故答案为：3

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例，也考查了等腰直角三角形的判定与性质．