Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB的中线，交AD于点F，点H在AD延长线上，且FH=AF，连接BH．
求证：DH=$\frac{1}{2}$AF．

Answer 1

分析 由AE=EB，AF=FH，推出EF∥BH，推出∠FCD=∠HBD，由△CDF≌△BDH，推出DF=DH，由AF=FH，推出DH=$\frac{1}{2}$AF．

解答 证明：∵AE=EB，AF=FH，
∴EF∥BH，
∴∠FCD=∠HBD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
在△CDF和△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCD=∠HBD}\\{CD=BD}\\{∠CDF=∠BDH}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BDH，
∴DF=DH，∵AF=FH，
∴DH=$\frac{1}{2}$AF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活应用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．