Question

9．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，已知抛物线C₁：y₁=-x²+ax+b与抛物线C₂：y₂=2x²+4x+6为“友好抛物线”，抛物线C₁与x轴交于点A、C，与y轴交于点B．
（1）求抛物线C₁的表达式．
（2）若F（t，0）（-3＜t＜0）是x轴上的一点，过点F作x轴的垂线交抛物线与点P，交直线AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D．
①是否存在点F，使PE+PD的值最大，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点F的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当正方形APMN中的边MN与y轴有且仅有一个交点时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线C₁的顶点坐标即可解决问题；
（2）①首先证明△PDE是等腰直角三角形，可知PD越大，PE+PD的值越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，消掉y得，x²+3x+m-3=0，当△=3²-4×1×（m-3）=0，即m=$\frac{21}{4}$时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，由此即可解决问题；
②分两种情形（i）如图1中，当点M在y轴上时，（ii）如图2，点N在y轴上时，分别求解即可；

解答 解：（1）由y₂=2x²+4x+6=2（x+1）²+4，可知顶点坐标为（-1，4），
∵知抛物线C₁：y₁=-x²+ax+b与抛物线C₂：y₂=2x²+4x+6为“友好抛物线”，
∴顶点相同，抛物线C₁的解析式为y₁=-（x+1）²+4，
即y₁=-x²-2x+3．

（2）①由题意易知A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF=90°-45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，PE+PD的值越大，
易得直线AB的解析式为y=x+3，
设与AB平行的直线解析式为y=x+m，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
消掉y得，x²+3x+m-3=0，
当△=3²-4×1×（m-3）=0，
即m=$\frac{21}{4}$时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时x=-$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{3}{2}$+$\frac{21}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴点P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）时，PD+PE的值最大，
此时t=-$\frac{3}{2}$．

②抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为直线x=-$\frac{-2}{2×（-1）}$=-1，
（i）如图1，当点M在y轴上时，过点P作PQ⊥y轴于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APF=∠QPM}\\{∠AFP=∠MQP}\\{AP=PM}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF=PQ，
∵点P的横坐标为t（t＜0），则PQ=-t，
即PF=-t，
∴点P的坐标为（t，-t），
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴-t²-2t+3=-t，
整理得，t²+t-3=0，
解得t₁=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，

（ii）如图2，点N在y轴上时，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，
∴△APF≌△NAO，
∴PF=AO，
则点P坐标为P（t，3），
则有-t²-2t+3=3，解得x=-2或0，
观察图象可知，当正方形APMN中的边MN与y轴有且仅有一个交点时，t的取值范围为$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$≤t≤-2．

点评 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．