Question

如图，AB是⊙O的直径，BE⊥CD于E．
（1）求证：AB•BE=BC•BD
（2）若BC=12，BD=5，BE=4，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：连结AC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，
∵BE⊥CD
∴∠BED=90°，
∴∠ACB=∠BED，
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DBE．
∴
∴AB•BE=BC•BD．

（2）解：∵AB•BE=BC•BD，BC=12，BD=5，BE=4，
∴AB=15，
即⊙O的直径是15．
分析：（1）连接AC，求出∠D=∠A，∠BED=∠BCA，根据相似三角形的判定推出△BED∽△BCA即可；
（2）把已知线段的长代入AB•BE=BC•BD，即可求出答案．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，关键是推出△ABC∽△DBE．