Question

【题目】如图，在中，平分，交于点.

（1）尺规作图：作平分，分别交于点；（保留作图痕迹，不必写出作法）

（2）在（1）的条件下，求证：点在的平分线上；

（3）若，过点作，垂足为点，请画出符合条件的图形，猜想和的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（或），证明详见解析.

【解析】

（1）根据角平分线的尺规作图步骤解答即可；

（2）根据角平分线的性质定理和判定定理解答即可；

（3）分别延长、交于点.通过证明可证，再证明，即可得到（或）.

（1）如图，线段就是所求作的角平分线；

（2）证明：

如图，过点作，，，点，，为垂足.

∵平分，，，

∴.

同理可得：.

∴，

∵，，

∴点在的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）.

（3）和的数量关系是：（或）.

证明如下：

如图，分别延长、交于点.

∵，，

∴，，

，，

∴，

∵，

∴，

∴.

∵平分，

∴，

∵，，

∴.

∴，

∴，即.