Question

9．如图，点P（3a，a）是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与⊙O的一个交点，若图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的表达式为y=$\frac{6}{x}$．

Answer 1

分析 利用反比例函数图象为中心对称图形得到阴影部分的面积为圆的面积的4四之一，则根据圆的面积公式可求出OP，再利用勾股计算出a得到P点坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值即可．

解答 解：∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象是中心对称图形，
∴阴影部分的面积为圆的面积的4四之一，
即$\frac{1}{4}$π•OP²=5π，解得OP=2$\sqrt{5}$，
∵（3a）²+a²=（2$\sqrt{5}$）²，解得a=$\sqrt{2}$，
∴P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
把P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=6，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{6}{x}$．
故答案为y=$\frac{6}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：二、四象限的角平分线y=-x；一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．