Question

13．如图，点A、B、C在同一条直线上，点P在以BC为直径的⊙O上，连结PA、PB、PC，AB=BP=$\frac{1}{2}BC$．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的直径是4cm，求PC的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OP，进而得出AB=BP=BO，进而得出∠BPA+∠BPO=90°，即可得出答案；
（2）利用已知首先求出BP的长，再利用勾股定理得出PC的长即可．

解答 解：（1）如图所示：连接OP，
∵AB=BP=$\frac{1}{2}$BC，BC为直径，
∴AB=BP=BO，
∴∠BAP=∠BPA，∠BPO=∠BOP，
∴∠BAP+∠BPA+∠BPO+∠BOP=180°，
∴∠BPA+∠BPO=90°，
∵点P在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线；

（2）∵BC为直径，
∴BC=4cm，∠BPC=90°，
∵BP=$\frac{1}{2}$BC，
∴BP=2，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：
PC=$\sqrt{P{C}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PC的长度为2$\sqrt{3}$cm．

点评 此题主要考查了切线的判定以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出∠BPA+∠BPO=90°是解题关键．