Question

如图，在直角坐标系中，A、B分别是x轴正半轴，y轴正半轴上的动点，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，其中A为直角顶点，P为斜边BC的中点，则下列说法中正确的是

 

．
①若A、B选择适当位置，则可能有OP⊥BC；
②若A（a，0），B（0，b），则C点的坐标必是（a+b，a）；
③无论AB怎样运动，都有∠POA=45°；
④无论AB怎样运动，都有OP≤AB．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：①根据等腰直角三角形的性质，可得AP与BC的关系，根据垂线的性质，可得答案；
②根据全等三角形的性质，可得AD、DC的长，根据线段的和差，可得OD的长，可得C点坐标；
③根据线段中点的性质，可得P点坐标，根据P点的坐标，可得答案；
④根据勾股定理，可得AB、OP的长，根据整式的加减，可得完全平方公式，根据平方都是非负数，可得答案．

解答：解：①由直角等腰三角形ABC，P是BC的中点，得AP⊥BC，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，OP不能垂直BC，故①错误；
②如图：作CD⊥x轴于点D，由余角的性质，得∠OBA=∠DAC，
在Rt△OBA和Rt△DAC中，

∠OBA=∠DAC ∠AOB=∠CDA BA=AC

，
Rt△OBA≌Rt△DAC（AAS），
∴AD=OB=b，DC=OA=a．
由线段的和差，得OD=OA+AD=a+b，即C点坐标是（a+b，a），故②正确；
③由B（0，b），C（a+b，a），P是BC的中点，得P（

a+b

2

，

a+b

2

），OP平分∠AOB，即∠POA=45°，故③正确；
④由勾股定理，得AB=

a2+b2

，OP=

( a+b 2 )2+( a+b 2 )2

，
平方，得AB²=a²+b²，OP²=

a2+2ab+b2

2

，
AB²-OP²=

2a2+2b2-a2-2ab-b2

2

=

(a-b)2

2

≥0，即AB≥OP，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了一次函数综合题，①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质；④利用了被开方数越大算术平方根越大．