Question

如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK=

5

2

KC，求

CD

AB

的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=

1

2

AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．

Answer 1

分析：（1）由已知得

CK

BK

=

2

5

，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用

CD

AB

=

CK

BK

求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=

1

2

BC，而GF=

1

2

CD，EF=

1

2

AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系．

解答：解：（1）∵BK=

5

2

KC，
∴

CK

BK

=

2

5

，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴

CD

AB

=

CK

BK

=

2

5

；

（2）当BE平分∠ABC，AE=

1

2

AD时，AB=BC+CD．
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=

1

2

BC，而GF=

1

2

CD，EF=

1

2

AB，
∵EF=EG+GF，
即：

1

2

AB=

1

2

BC+

1

2

CD；
∴AB=BC+CD．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．