题目内容
如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．
分析：根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形．根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系．
解答：
证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，
∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且
=
．
∵AB∥CD，
∴
=
．
∵AD∥CE，
∴
=
．
∴
+
=
+
=
．
又∵
=
=
，
∴OQ=3DN．
∴CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD，AN=AD-DN．
∴AN+CQ=2DN．
∴
+
=
=2．
即MN+PQ=2PN．
证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且
| DG |
| OG |
| 1 |
| 3 |
∵AB∥CD，
∴
| MN |
| PN |
| AN |
| DN |
∵AD∥CE，
∴
| PQ |
| PN |
| CQ |
| DN |
∴
| MN |
| PN |
| PQ |
| PN |
| AN |
| DN |
| CQ |
| DN |
| AN+CQ |
| DN |
又∵
| DN |
| OQ |
| DG |
| OG |
| 1 |
| 3 |
∴OQ=3DN．
∴CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD，AN=AD-DN．
∴AN+CQ=2DN．
∴
| MN |
| PN |
| PQ |
| PN |
| AN+CQ |
| DN |
即MN+PQ=2PN．
点评：综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．
练习册系列答案
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