Question

已知△ABC，AB=BC，D为边BC上任意一点，射线CE在∠ACF的内部，DG交CE于点G．

（1）如图1，若AB=AC，∠ECF=∠ADG=60°，试探究线段AD与线段DG的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
（2）如图2，若∠B=∠ADG，请你给∠ECF补充一个条件，使得你在（1）中得到的结论仍然成立，并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=∠ABF=60°，再求出∠ACE=60°，从而得到∠ADG=∠ACE，然后证明点A、D、C、G四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠DGA=∠ACD=60°，再求出∠DAG=60°，然后根据等角对等边可得AD=DG；
（2）根据（1）的思路，∠ECF=∠BAC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACE=∠B，然后求出点A、D、C、G四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等求出∠AGD=∠ACB，根据三角形的内角和表示出∠ACB=∠DAG，从而得到∠DAG=∠AGD，再根据等角对等边证明即可．

解答：证明：（1）∵AB=BC，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACD=∠ABF=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠ACE=180°-60°×2=60°，
∴∠ADG=∠ACE，
∴点A、D、C、G四点共圆，
∴∠DGA=∠ACD=60°，
又∵∠DAG=180°-∠ADG-∠DGA=180°-60°-60°=60°，
∴∠DAG=∠DGA=60°，
∴AD=DG；

（2）∠ECF=∠BAC．
理由如下：由三角形的外角性质，∠ACE+∠ECF=∠BAC+∠B，
∵∠ECF=∠BAC，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B=∠ADG，
∴∠ADG=∠ACE，
∴点A、D、C、G四点共圆，
∴∠AGD=∠ACB，
∵∠DAG=180°-∠ADG-∠AGD=180°-∠B-∠ACB=∠BAC，
∴∠ACB=∠DAG，
∴∠DAG=∠AGD=∠ACB，
∴AD=DG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，四点共圆的证明与应用，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质求出四点共圆并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．