Question

【题目】如图，△ABC中，D是边BC的中点，E是AB边上一点，且AD⊥CE于O，AD＝AC＝CE．

（1）求证：∠B＝45°；

（2）求的值；

（3）直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）作AF⊥BC于F，由等腰三角形的性质得出DF＝CF，∠ADC＝∠ACD，∠CEA＝∠EAC，证出∠1＝∠2，∠B＝∠EAF，即可得出结论；

（2）设DF＝CF＝m，则BC＝4m，AF＝BF＝3m，由勾股定理得：CE＝AD＝m，由三角形面积公式先得出AD×OC＝CD×AF，求出OC＝m，得出OE＝CE﹣OC＝m，即可得出结果；

（3）作EG⊥BC于G，则△BEG是等腰直角三角形，得出EG＝BG，设EG＝BG＝x，则CG＝4m﹣x，在Rt△CEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出EG＝m，BE＝m，即可得出结果．

（1）证明：作AF⊥BC于F，如图1所示：

∵AD＝AC＝CE，

∴DF＝CF，∠ADC＝∠ACD，∠CEA＝∠EAC，

∵∠1+∠ADC＝90°，∠ACD+∠2＝90°，

∴∠1＝∠2，

∵∠B+∠1＝∠CEA＝∠EAC＝∠EAF+∠2，

∴∠B＝∠EAF，

∵∠B+∠EAF＝90°，

∴∠B＝∠EAF＝45°；

（2）解：设DF＝CF＝m，则BC＝4m，AF＝BF＝3m，

由勾股定理得：CE＝AD＝m，

∵△ACD的面积＝AD×OC＝CD×AF，

∴AD×OC＝CD×AF，

即OC×m＝2m×3m，

∴OC＝m，

∴OE＝CE﹣OC＝m﹣m＝m，

∴＝；

（3）解：作EG⊥BC于G，如图2所示：

则△BEG是等腰直角三角形，

∴EG＝BG，

设EG＝BG＝x，则CG＝4m﹣x，

在Rt△CEG中，由勾股定理得：x2+（4m﹣x）2＝（m）2，

解得：x＝m，或x＝3m（舍去），

∴EG＝m，

∴BE＝m，

∴＝．