Question

2．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．
（1）求∠C的度数；
（2）若弦AB的长为10，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OB，证出∠OBD=30°，得出∠BOC=60°，证出△OBC是等边三角形，即可得出结果；
（2）设⊙O的半径为r，由垂径定理得出BD=$\frac{1}{2}$AB=5，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径．

解答 解：（1）∵弦AB垂直平分半径OC．
∴∠BOD=90°，OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠C=60°；
（2）设⊙O的半径为r，
∵AB垂直平分半径OC，AB=10，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=5，
在Rt△BOD中，OA²=OD²+BD²，
即r²=5²+（$\frac{r}{2}$）²，
解得：r=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙O的直径为$\frac{20\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．