Question

如图，边长为3的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是多少？

Answer 1

分析：连接AE，根据旋转性质和正方形性质推出AD′=AD=AB，∠AD'E=∠D=∠B=90°，根据HL证△AD′E和△ABE全等，推出D′E=BE，推出CD′=D′E=BE，设BE=x，求出CE长，得出关于x的方程，求出x的值，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：连接AE，
因为是绕顶点A顺时针旋转45°角，由旋转的特征和正方形性质可知：
AD′落在AC上，AD′=AD=AB，∠AD′E=∠D=∠B=90°，
在Rt△AD'E和Rt△ABE中：AD′=AB，AE=AE，
∴Rt△AD′E≌Rt△ABE（HL），
∴D′E=BE，
∵AC是正方形对角线，
∴∠D′CE=45°，
∴∠D′EC=45°，
∴D′C=D′E，
设BE=x，则D′C=D′E=x，CE=

D′C2+D′E2

=

2

x，
∴x+

2

x=3，
解得：x=3(

2

-1)，
S_{四边形AD′EB}=S_△ABC-S_△CD′E=

1

2

×3×3-

1

2

×3(

2

-1)×3(

2

-1)=9

2

-9，
答：这两个正方形重叠部分的面积是9

2

-9．

点评：本题综合考查了全等三角形性质和判定，三角形的面积，正方形的性质，旋转的性质等知识点的应用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，用了方程思想．