Question

【题目】如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°

操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．

探究一：在旋转过程中，

（1）如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；

（2）如图3，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；

（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为　 　，其中m的取值范围是　 　．（直接写出结论，不必证明）

探究二：若且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：

（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．

（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．

Answer 1

【答案】探究一：（1）EP=EQ；证明见解析；（2）1:2，证明见解析；（3）EP：EQ=1：m，∴0＜m≤2+；探究二：（1）当x=10时，面积最小，是50cm2；当x=10时，面积最大，是75cm2．（2）50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．

【解析】探究一：（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE，∠PBE=∠C，根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ，即可得到全等三角形，从而证明结论；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；

（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析；

探究二：（1）设EQ=x，结合上述结论，用x表示出三角形的面积，根据x的最值求得面积的最值；

（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论．

探究一：（1）连接BE，

根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得

BE=CE，∠PBE=∠C，

又∠BEP=∠CEQ，

则△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，

∴∠EMP=∠ENC，

∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，

∴∠MEP=∠NEF，

∴△MEP∽△NEQ，

∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

（3）过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，

∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，

∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°），

又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），

∴∠MPE=∠EQN（等量代换），

∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，

∴，

在Rt△AME∽Rt△ENC，

∴，

∴，

EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，

∴0＜m≤2+；（当m＞2+时，EF与BC不会相交）．

探究二：若AC=30cm，

（1）设EQ=x，则S=x2，

所以当x=10时，面积最小，是50cm2；

当x=10时，面积最大，是75cm2；

（2）当x=EB=5时，S=62.5cm2，

故当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；

当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．