Question

如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,翻折变换（折叠问题）

专题：证明题

分析：由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．

解答：证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中

∠EAO=∠FAO AO=AO ∠AOE=∠AOF

，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO
又∵A点与D点重合，
∴AO=DO，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
∵点A与点D关于直线EF对称，
∵EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．

点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．