Question

如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=2

2

BD，设BD=a，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）由BD∥AC，得∠EAC=∠B；根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由此可根据SAS判定两个三角形相似．
（2）首先根据已知条件表示出AB、AD、AC的值，进而可由勾股定理判定∠D=∠E=90°；根据（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的长，进而可在Rt△BEC中，根据勾股定理求出BC的长．

解答：（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵

AB

AC

=

BD

AE

=3，
∴△ABD∽△CAE；（4分）

（2）连接BC，
解：∵AB=3AC=3BD，AD=2

2

BD，
∴AD²+BD²=8BD²+BD²=9BD²=AB²，
∴∠D=90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=

1

3

BD，EC=

1

3

AD=

2

3

2

BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE中，BC²=（AB+AE）²+EC²
=（3BD+

1

3

BD）²+（

2 2

3

BD）²=

108

9

BD²=12a²，
∴BC=2

3

a．（6分）

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及勾股定理的应用．能够由勾股定理判断出△ABD和△AEC是直角三角形，是解答（2）题的关键．