题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点G，过点D作DE⊥AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB=13，BC=10．求AE的长．
考点：切线的判定
专题：
分析：（1）首先连接OD，由AB=AC，OB=OD，易得∠ABD=∠ODB=∠C，继而可得OD∥AC，然后由DE⊥AC，证得DE⊥OD，则可得直线EF与⊙O相切．
（2）首先连接AD，由圆周角定理，可得∠ADB=90°，然后由三线合一，可求得BD的长，再由勾股定理，求得AD的长，易证得△AED∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（2）首先连接AD，由圆周角定理，可得∠ADB=90°，然后由三线合一，可求得BD的长，再由勾股定理，求得AD的长，易证得△AED∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
解答：
解：（1）直线EF与⊙O相切．
理由：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴直线EF与⊙O相切．
（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC=
BC=5，
∴AD=
=
=12，
∵∠DAC=∠DAC，∠ADC=∠AED=90°，
∴△AED∽△ADC，
∴
=
，
即
=
，
解得：AE=
．
解：（1）直线EF与⊙O相切．理由：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴直线EF与⊙O相切．
（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC=
| 1 |
| 2 |
∴AD=
| AB2-BD2 |
| 132-52 |
∵∠DAC=∠DAC，∠ADC=∠AED=90°，
∴△AED∽△ADC，
∴
| AE |
| AD |
| AD |
| AC |
即
| AE |
| 12 |
| 12 |
| 13 |
解得：AE=
| 144 |
| 13 |
点评：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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| B、对角相等 |
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如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（ ）A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
下列问题中，适合用普查的是（ ）
| A、了解初中生最喜爱的电视节目 |
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