Question

如图，直线l：y=-

3

4

x+6与x轴、y轴分别交于点M，N．点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度沿N→O方向运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Q同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）直接写出点M，N的坐标；
（2）当t为何值时，PQ与l平行？
（3）设四边形MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）将M和N代入直线l：y=-

3

4

x+6中即可求出M和N的坐标；
（2）当OP×OM=OQ×ON时，PQ与1平行，求出此时的时间t即可；
（3）四边形MNPQ的面积可以看成△OMN的面积-△OPQ的面积，利用此等量关系即可列出关系式．

解答：解：（1）M（8，0），N（0，6）（2分）

（2）当PQ与l平行时，△NOM∽△POQ（3分）

MO

QO

=

NO

PO

即

8

2t

=

6

6-t

（4分）
∴10t=24，即t=2.4
∴当t=2.4秒时，PQ与l平行．（5分）
（其它解法参照给分）

（3）如图所示：
当P点在线段NO上运动t秒时，OP=6-t，OQ=2t
∴S△POQ=

1

2

OP•OQ=-t²+6t（6分）
此时四边形MNPQ的面积
S=S_△MON-S_△POQ=

1

2

×8×6-(-t2+6t)=t²-6t+24（7分）
=（t-3）²+15（0＜t＜4）（8分）
∴当t=3时，S的最大值为15．（9分）

点评：本题主要考查对于一次函数的应用以及相似三角形的理解；此外，还应注意三角形面积的求法．