Question

如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF切⊙O于点E，交AD于点F，连接BE．
（1）求△CDF的面积；
（2）求线段BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理，可以得到AF=EF，CE=CB，在在Rt△FDC中利用勾股定理即可得到一个关于AF的方程，求得AF的长，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）连接OC交BE于点G，连接OE．则CO垂直平分BE，在Rt△OBC中利用勾股定理即可求得OC的长，然后根据△BOC的面积公式求得BG的长，然后根据BE=2BG，即可求解．

解答：解：（1）依题意可知：DA，CB，CF为⊙O的切线，
∴AF=EF，CE=CB．
设AF=x，则在Rt△FDC中，（1-x）²+1=（x+1）²，
∴x=

1

4

．
∴S_△FDC=

1

2

×CD×DF=

3

8

．
（2）连接OC交BE于点G，连接OE．
∵CE，CB是⊙O的切线，
∴CE=CB．
又∵OE=OB，
∴CO垂直平分BE．
在Rt△OBC中，OC=

BC2+OB2

=

5

2

．
∵S_△BOC=

1

2

×OB×BC=

1

2

×BG×OC，
∴BG=

5

5

，
∴BE=2BG=

2 5

5

．

点评：本题考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，切线的性质定理，正确作出辅助线是关键．