Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点B（0，$\frac{3}{2}$），与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），求⊙A的半径及点N的坐标．

Answer 1

分析 连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，由切线的性质得出AB⊥y轴，由题意得出AB=AM=R，CM=R-$\frac{1}{2}$，AC=$\frac{3}{2}$，MN=2CM，由勾股定理得出方程，解方程求出R，得出CM，得出ON的长即可．

解答 解：连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，如图所示：
设⊙A的半径是R，
∵⊙A与y轴相切于B，
∴AB⊥y轴，
∵点B（0，$\frac{3}{2}$），与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），
∴AB=AM=R，CM=R-$\frac{1}{2}$，AC=$\frac{3}{2}$，MN=2CM，
由勾股定理得：R²=（R-$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{3}{2}$）²，
解得：R=2.5，即⊙A的半径为2.5；
∴CM=CN=2.5-$\frac{1}{2}$=2，
∴ON=$\frac{1}{2}$+2+2=4$\frac{1}{2}$，
即N的坐标是（4$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了切线的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握切线的性质，由勾股定理得出方程求出半径是解决问题的关键．