Question

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是（1）中抛物线AB段上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点，代入三点可确定解析式．
（2）如图，设P点的横坐标为m，相应的可求出纵坐标，根据相似三角形的性质，对应边成比例，可求出m的值，进而求出P的值．
（3）确定D点的横坐标的取值范围，求出△DCA的面积的函数式，根据取值范围可确定最大值．
解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，得（1分）
解得，
∴此抛物线的解析式为；（3分）

（2）存在．（4分）
如图，设P点的横坐标为m，
∵P是抛物线AB段上一动点，∴1＜m＜4，
则P点的纵坐标为，
当1＜m＜4时，AM=4-m，．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当时，△APM∽△ACO，
即．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），∴P（2，1）．如图（5分）
②当时，△APM∽△CAO，
即．
解得m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去）
∴当1＜m＜4时，P（2，1）．
综上所述，符合条件的点P为（2，1）；
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t²+t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=x-2．
∴E点的坐标为（t，t-2）．
∴DE=-t²+t-2-（t-2）=-t²+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=DE•h+DE•（4-h）=DE•4，
∴S△DAC=×（-t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．
点评：本题考查二次函数的综合运用，通过已知点来确定函数式，和通过相似三角形的性质确定点的坐标，以及通过函数式和取值范围求得最大值．