Question

已知，如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别是E、F。

求证：（1）AE=AF，AD平分∠EDF；

（2）请你猜想，AD与EF有何关系，并证明你的结论。

Answer 1

证明：（1）在△AED和△AFD中，∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠EAD=∠FA，又DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠AED=∠AFD=90°，AD为公共边，∠ADE=∠ADF

∴△AED≌△AFD（ASA）

∴AE=AF

又∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠EDF

（2）AD与EF垂直

在△AEO和△AFO中

AE=AF，∠EAO=∠FAO，OA为公共边

∴△AEO≌△AFO（SAS）

∴∠AOE=∠AOF，而∠AOE+∠AOF=180°，

∴∠AOE=∠AOF=90°

∴AO⊥EF即AD⊥EF。