通过类比联想.引申拓展研究典型题目.可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例.请补充完整．原题:如图1.点E.F分别在正方形ABCD的边BC.CD上.∠EAF=45°.连接EF.求证:EF=BE+DF．(1)思路梳理∵AB=AD.∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG.可使AB与AD重合．∵∠ADG=∠B=90°.∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°.则点F.D.G� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BE+DF．
（1）思路梳理
∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADG=∠B=90°，∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°，则点F、D、G共线．
根据SAS，易证△AFG≌△AFE，从而得EF=BE+DF；
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，但当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

分析（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；
（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B²+BD²=E′D²，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE²=BD²+EC²．

解答解：（1）如图1，∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．
故答案为：SAS，△AFE；

（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
如图2，∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．
故答案为：∠B+∠D=180°；

（3）猜想：DE²=BD²+EC²，
证明：如图3，连接DE′，根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B²+BD²=E′D²，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
在△AE′D和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AD=∠DAE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE=DE′，
∴DE²=BD²+EC²．