题目内容
4．如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长．
（3）明明发现一个矩形的反射四边形有无数个，但这些反射四边形的周长都相等．图1中，若MN=3，NP=4，则四边形EFGH的周长为10．
分析 （1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形；
（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值；
（3）延长GH交PN的延长线于点A．，再利用“角边角”证明△FPE≌Rt△FPB，根据全等三角形对应边相等可得EF=BF，EP=PB，同理求出AH=EH，NA=EN，从而得到AB=2NP，再证明GA=GB，过点G作GK⊥NP于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出KB=$\frac{1}{2}$AB=4，再利用勾股定理求出GB的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长；
解答 解：（1）作图如下：
（2）在图2中，EF=FG=GH=HE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴四边形EFGH的周长为4×2$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$，
在图3中，EF=GH=$\sqrt{5}$，FG=HE=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$，
∴四边形EFGH的周长为2×$\sqrt{5}$+2×3$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$+6$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$．
（3）如图4，延长GH交PN的延长线于点A，过点G作GK⊥NP于K，
∵∠1=∠2，∠1=∠5，
∴∠2=∠5．
在△FPE和△FPB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠5}\\{PF=PF}\\{∠FPE=∠FPB}\end{array}\right.$
∴△FPE≌Rt△FPB（ASA），
∴EF=BF，EP=PB，
同理：AH=EH，NA=EN．
∴AB=2NP=8．
∵∠B=90°-∠5=90°-∠1，∠A=90°-∠3，
∴∠A=∠B．∴GA=GB．
则KB=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴GB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴四边形EFGH的周长为：2GB=10．
故答案为：10．
点评 本题考查了应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、矩形的性质等知识，读懂题意理解“反射四边形EFGH”特征是解题的关键．
寒假大串联黄山书社系列答案| 月份 | 用水量（立方米） | 水费（元） |
| 3 | 5 | 7.5 |
| 4 | 9 | 27 |
（2）求当用户用水为x立方米时的水费（用含x的代数式表示）；
（3）某用户某月交水费39元，这个月该用户用水多少立方米？
如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么EC=4．