Question

设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．

Answer 1

证明：作AD、BO的延长线相交于G，
∵OE∥GA，
∴在△CGA中，=，
又在△BGA中，=，由此得=，而OM是⊙O的半径，
∴OM=OP，
∴=，
∴△POE∽△POF，
∴∠OPF=∠OEP．
分析：作AD、BO的延长线相交于G，由OE∥GA，则=，再由=，从而得出=，由OM=OP，可以得出△POE∽△POF，从而证出∠OPF=∠OEP．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理，是一道综合题，难度较大．