题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB=30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线
与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；
（3）点P为△ABO内的一个动点，设m=PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长．
【答案】分析：（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；
（2）过E作EG⊥x轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；
过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得△AOK∽△AEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在Rt△OMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在Rt△AEK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；
（3）由于点P到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△ABO的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外切圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设⊙Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于⊙Q来说，AE、AH都是⊙Q的割线，根据割线定理即可求得AP的长．
解答：
解：（1）过E作EG⊥OD于G（1分）
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵点B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，
；
∵E为BD中点，
∴
∴EG=1，
∴
∴点E的坐标为
（2分）
∵抛物线
经过B（0，2）、
两点，
∴
，
可得
；
∴抛物线的解析式为
；（3分）
（2）∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，
∴A点的坐标为
∴
，
∴在△AGE中，∠AGE=90°，
（4分）
过点O作OK⊥AE于K，
可得△AOK∽△AEG
∴
∴
∴
∴
∵△OMN是等边三角形，
∴∠NMO=60°
∴
；
∴
，或
；（6分）
（写出一个给1分）
（3）如图；
以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；
易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；
连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；
∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′为等边三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m最小=AE=
；
如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，
根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四点共圆；
易求得Q（
，1），则H（
，0）；
∴AH=
；
由割线定理得：AP•AE=OA•AH，
即：AP=OA•AH÷AE=
×
÷
=
．
故：m可以取到的最小值为
当m取得最小值时，线段AP的长为
．
（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）
点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大．
（2）过E作EG⊥x轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；
过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得△AOK∽△AEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在Rt△OMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在Rt△AEK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；
（3）由于点P到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△ABO的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外切圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设⊙Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于⊙Q来说，AE、AH都是⊙Q的割线，根据割线定理即可求得AP的长．
解答：
解：（1）过E作EG⊥OD于G（1分）∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵点B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，
；∵E为BD中点，
∴
∴EG=1，
∴
∴点E的坐标为
（2分）∵抛物线
经过B（0，2）、两点，∴
，可得
；∴抛物线的解析式为
；（3分）（2）∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，
∴A点的坐标为∴
，∴在△AGE中，∠AGE=90°，
（4分）过点O作OK⊥AE于K，
可得△AOK∽△AEG
∴
∴
∴
∴
∵△OMN是等边三角形，
∴∠NMO=60°
∴
；∴
，或；（6分）（写出一个给1分）
（3）如图；
以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；
连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；
∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′为等边三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m最小=AE=
；如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，
根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四点共圆；
易求得Q（
，1），则H（，0）；∴AH=
；由割线定理得：AP•AE=OA•AH，
即：AP=OA•AH÷AE=
×÷=．故：m可以取到的最小值为
当m取得最小值时，线段AP的长为
．（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）
点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大．
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