Question

20．如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．

（1）求证：△PAB≌△AQE；
（2）连接CQ交AB于M，若PC=2PB，求$\frac{PC}{MB}$的值；
（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子$\frac{QF-DP}{DF}$的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息可以得到AQ=AP，∠QEA与∠ABP之间的关系，∠QAE与∠APB之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC与MB的关系，从而可以解答本题；
（3）作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．

解答 （1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．
∴AP=AQ，∠ABP=∠QEA=90°，∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°，
∴∠QAE=∠APB，
在△PAB和△AQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABQ=∠QEA}\\{∠QAE=∠APB}\\{AQ=PA}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△AQE（AAS）；
（2）解：∵△PAB≌△AQE，
∴AE=PB，
∵AB=CB，
∴QE=CB．
在△QEM和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QME=∠CMB}\\{∠QEM=∠CBM}\\{QE=CB}\end{array}\right.$，
∴△QEM≌△CBM（AAS），
∴ME=MB，
∵AB=CB，AE=PB，PC=2PB，
∴BE=PC，
∵PC=2PB，
∴PC=2MB，
∴$\frac{PC}{MB}=2$；
（3）式子$\frac{QF-DP}{DF}$的值不会变化．
如下图2所示：作HA⊥AC交QF于点H，

∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，
∴∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90°，∠AQH=∠APD=90°，
∴∠QAH=∠PAD，
∵△PAQ为等腰直角三角形，
∴AQ=AP，
在△AQH和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQH=∠APD}\\{AQ=AP}\\{∠QAH=∠PAD}\end{array}\right.$，
∴△AQH≌△APD（ASA），
∴AH=AD，QH=PD，
∵HA⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠HAF=∠DAF，
在△AHF和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AD}\\{∠HAF=∠DAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AHF≌△ADF（SAS），
∴HF=DF，
∴$\frac{QF-DP}{DF}$=$\frac{QF-QH}{HF}$=$\frac{HF}{HF}$=1．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系．