题目内容

设方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根之比为2：3．求证：6b²=25ac

解：设方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根是2α，3α，则
2α+3α=- $\text{[math]}$ ，2α•3α= $\text{[math]}$ ，
∴5α=- $\text{[math]}$ ①，6α²= $\text{[math]}$ ②，
由①得α=- $\text{[math]}$ ③，
把③代入②，得
6×（- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴25a²c=6ab²，
∴25ac=6b²．
分析：先设方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根是2α，3α，根据根与系数的关系可得2α+3α=- $\text{[math]}$ ，2α•3α= $\text{[math]}$ ，从2α+3α=- $\text{[math]}$ 可求出α，再把α的值代入2α•3α= $\text{[math]}$ 中，化简即可．
点评：此题主要考查了根与系数的关系、比例的性质，若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，则有x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．