Question

设a，b为整数，且方程ax²+bx+1=0的两个不同的正数根都小于1，求a的最小值．

Answer 1

分析：根据根与系数的关系，由两根之积确定a大于0，然后由二次函数的思想得到0＜-

b

2a

＜1，a+b+1＞0，由判别式大于0得到a，b的关系，由a，b都是整数求出a的最小值．

解答：解：设方程的两根为x₁，x₂，
由x₁•x₂=

1

a

＞0，∴a＞0．
由题意有：△=b²-4ac=b²-4a＞0   ①
用函数的观点看一元二次方程有：0＜-

b

2a

＜1  ②
a+b+1＞0     ③
由②③得：-（a+1）＜b＜0
由①得：b＜-2

a

．
∴-（a+1）＜b＜-2

a

．④
当a=1，2，3，4时，满足④式的整数b不存在．
当a=5时，b=-5，这时方程是5x²-5x+1=0，两根为x=

1

2

±

5

10

在0和1之间．
故a的最小值为5．

点评：本题考查的是一元二次方程根 与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式，然后用函数的观点看一元二次方程，得到关于a，b的不等式组，讨论a，b的取值，确定a的最小值．