Question

17．已知：$\frac{x+y}{z}$=$\frac{y+z}{y}$=$\frac{z+x}{y}$，求：（x+y）：z的值．

Answer 1

分析 根据等式的性质，可得x+y=mz，y+z=mx，z+x=my；分类讨论：x+y+z≠0，x+y+z=0，根据等式的性质2，可得答案．

解答 解：由$\frac{y+z}{y}$=$\frac{z+x}{y}$，得y=x．
设$\frac{x+y}{z}$=$\frac{y+z}{y}$=$\frac{z+x}{y}$=m，得
x+y=mz　①，y+z=my　②，z+x=my　③．
①+②+③得：2（x+y+z）=m（y+y+z），
将等号右边括号里的一个y换成x，得
2（x+y+z）=m（x+y+z）．
当x+y+z≠0时，有m=2，即$\frac{x+y}{z}$=2
当x+y+z=0时，有x+y=-z，$\frac{x+y}{z}$=$\frac{-z}{z}$=-1，
综上所述：$\frac{x+y}{z}$=2或$\frac{x+y}{z}$=-1．

点评 本题考查了比例的性质，利用了等式的性质，等式两边都加（或减）同一个数（或整式），结果不变；等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变，注意要分类讨论，以防遗漏．