题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动．设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）
（1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？
（2）当t为何值时，PQ⊥OB？
（3）当t为何值时，PQ∥AB？
（4）当t为何值时，△OPQ是等腰三角形？

解：（1）由题意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3
∴梯形OABC的面积= $\text{[math]}$ ×（4+8）×3=18
当PQ平分四边形OABC的面积时 $\text{[math]}$ ×（t+8-2t）×3=9
解得t=2
即当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积

（2）当PQ⊥OB时，作PM⊥OA于点M，易证△PMQ∽△BCO
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得：t= $\text{[math]}$
即：当t= $\text{[math]}$ 时，PQ⊥OB．

（3）当PQ∥AB时，
BP=AQ
∴4-t=2t
解得t= $\text{[math]}$
即当t= $\text{[math]}$ 时，PQ∥AB

（4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F
则OF=QF
4t=8
t=2
OP=OQ时，

3²+t²=（8-2t）²
解得t₁= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）
t₂= $\text{[math]}$
∴t= $\text{[math]}$
当QO=QP时
3²+（8-3t）²=（8-2t）²
解得t₁= $\text{[math]}$
t₂= $\text{[math]}$ ．
综上所述：当t=2或t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ 时，△OPQ是等腰三角形．
分析：点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，3），则一定有BC∥OA．则四边形ABCO是直角梯形．
（1）PQ平分四边形OABC的面积，则四边形OQPC的面积即可求解，且这个四边形的直角梯形或矩形，据此即可得到一个关于t的方程，即可求解；
（2）△PMQ∽△BCO时，PQ⊥OB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；
（3）当PQ∥AB时，四边形ABPQ是平行四边形，即BP=AQ，据此即可求解；
（4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F，则OF=QF，根据勾股定理即可求解．
点评：本题主要考查了平行四边形，相似三角形的性质，勾股定理的应用，正确理解平行四边形的判定方法，从而把问题转化为方程问题是解题的关键．