Question

（1）如图1，?ABCD，AE⊥BD，CF⊥BD，则AE、CF满足的数量关系是

 

；
（2）如图2，P为AD边上一点，过A、C、D三点分别作BP的垂线，垂足分别为E、F、G，判断线段AE、CF、DG之间的数量关系并证明；

（3）如图3，P为AD延长线上任一点，过A、C、D三点分别作BP的垂线，垂足分别为E、F、G，则线段AE、CF、DG之间的数量关系是

 

．（不需要证明）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：开放型

分析：（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，则∠ABE=∠FDC，易证得Rt△ABE≌Rt△CDF，即可得到AE=CF；
（2）过D点作DH⊥CF于H点，如图②，由CF⊥BP，DG⊥BP得到四边形DHFG为矩形，则DG=FH，由GF∥DH得∠APB=∠ADH，再由AD∥BC得到∠APB=∠PBC，则∠ADH=∠PBC，
根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠ADC，得到∠ABE=∠CDH，易证Rt△ABE≌Rt△CDH，则AE=CH，因此CF=CH+FH=AE+DG；
（3）过D点作DH⊥AE于H点，如图③，易得四边形DGEH为矩形，则DG=EH，与（2）类似证RtADH≌Rt△CBF得到AH=CF，则有结论AE-DG=CF．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠FDC，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴AE=CF；
故答案为AE=CF；
（2）线段AE、CF、DG之间的数量关系为：AE+DG=CF．理由如下：
过D点作DH⊥CF于H点，如图②，
∵CF⊥BP，DG⊥BP，
∴四边形DHFG为矩形，
∴DG=FH，∠APB=∠ADH，
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，
∴∠ADH=∠PBC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∴∠ABE=∠CDH，
而∠AEB=90°，
在△ABE和△CDH中，
AB=CD
∠ABE=∠CDH
∠AEB=∠DHC=90°
∴Rt△ABE≌Rt△CDH，
∴AE=CH，
∴CF=CH+FH=AE+DG；
（3）过D点作DH⊥AE于H点，如图③，
∵AE⊥BP，DG⊥BP，
∴四边形DGEH为矩形，
∴DG=EH，
∵DH∥BP，
∴∠ADH=∠P
而AP∥BC，
∴∠P=∠PBC，
∴∠ADH=∠CBF，
而AD=BC，CF⊥BF，
∴Rt△ADH≌Rt△CBF，
∴AH=CF，
∴AE-AH=HE，
∴AE-CF=DG，
即AE-DG=CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有一条边对应相等，并且有两组角对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了平行四边形的性质．