Question

14．如图，M为⊙O内任意一点，AB为过点M且和OM垂直的一条弦，CD为过点M的任意一条弦（不与AB重合）．
（1）求证：AB＜CD；
（2）有过点M的所有弦中，有没有长的弦？有（填“有”或“没有”）有没有最短的弦？有填“有”或“没有”）如果有，最长的弦与OM的位置关系为重合，最短的弦与OM的位置关系为垂直；
（3）如果过点M的所有弦中，最长的弦是EF，最短的弦是GH，且EF=26，GH=24，求OM的长度．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得出DN=$\frac{1}{2}$CD，OM＞ON，AM=$\frac{1}{2}$AB，然后根据勾股定理和直角三角形斜边大于直角边即可证得结论；
（2）根据垂线段最短即可得出AB是最短的一条；连接OC，OD，根据三角形的三边关系可得出OC+OD＞CD．
（3）根据题意：OG=OE=13，GM=12，根据勾股定理即可求得．

解答 （1）证明：作ON⊥CD于N，连接OA、OD，如图1，
∴DN=$\frac{1}{2}$CD，OM＞ON，
∵OM⊥AB，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB，
∵AM²=OA²-OM²，DN²=OD²-ON²，OA=OD，
∴AM²＜DN²，
∴AM＜DN，
∴AB＜CD；
（2）证明：如图2，∵OM⊥AB，
∴OM是点O到弦AB的最短距离，
∴在过M点的所有弦中，AB是最短的一条；
∵CD为过点M的任意一条弦，连接OC，OD，
∴OC+OD＞CD，OC+OD=直径，
即在过M点的所有弦中，直径是最长的．
故答案为：有，有，重合，垂直；
（3）解：如图3，连接OG，
由题意得，EF⊥GH，EF是⊙O的直径，
OG=13，GM=12，
所以OM=$\sqrt{O{G}^{2}-G{M}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理以及三角形三边之间的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．