题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线
图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
（3）存在，P1（
，
）、P2（，
）
【解析】
（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。
（2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。
（3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。
解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC。
∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。
在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，
∴△BDC≌△COA（AAS）。
（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。
∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。
设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，
∴
，解得
。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－
x－。
（3）存在 。
∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－
，∴对称轴为直线x＝－。
若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，
∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点。
由题意可得：
， 解得，
。∴P1（－，－
）。
若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，
则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2，
∵CD＝OA，∴A（0，2）。
设直线AP2的解析式为：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。
∴直线AP2的解析式为：y＝－x＋2。
由题意可得：
，解得，
。∴P2（－，）。
∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，）。
