题目内容

对于正数x，规定f（x）= $数学公式$ ．
（1）计算f（2）=，f（ $数学公式$ ）=，f（2）+f（ $数学公式$ ）=，f（3）+f（ $数学公式$ ）=，…；
（2）猜想f（x）+ $数学公式$ =__，请予以证明．
（3）现在你会计算 $数学公式$ $数学公式$ + $数学公式$ +…f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）的值了吗，写出你的计算过程．

解：（1）由规定运算可知，f（2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则f（2）+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，f（3）+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
故答案为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，1，1；

（2）f（x）+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
故答案为：1；

（3）f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）
=f（1）+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（2）]+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（3）+]+…+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（2012）]
= $\text{[math]}$ +1+1+…+1=2011 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把x的值代入规定的分式计算即可；
（2）由（1）猜想一般结论，把 $\text{[math]}$ 代替规定算式中的x，进行分式加减运算即可；
（3）根据（2）得出的规律，分组计算．
点评：本题考查了分式的加减法．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．