Question

已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）。
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）连接AC，∵BC是⊙A的切线， ∴∠ACB=90°， ∴， ∵， ∴， ∴∠BCO=∠CAO， ∴△BCO∽△CAO， ∴， 即， ∴CO=2， ∴点C坐标是（0，2）， 设直线BC的解析式为， ∵该直线经过点B（-4，0）与点C（0，2）， ∴ 解得 ∴该直线解析式为；
（2）连接AG，过点G作， 由切线长定理知， 在Rt△ACG中， ∵， ∴， 在Rt△BOC中，由勾股定理得，  ∴， 又∵  ， ∴△BOC∽△BHG， ∴， ∴， 则是点G的纵坐标， ∴， 解得， ∴点G的坐标；
（3）如图示，当A在点B的右侧时， ∵E、F在⊙A上， ∴， 若△AEF是直角三角形， 则∠EAF=90°，且为等腰直角三角形， 过点A作，在中由三角函数可知，  又∵△BOC∽△BMA ， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标是， 当A在点B的左侧时：同理可求点A坐标是。