Question

（1997•南京）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，A为⊙O₁上一点，直线AC切⊙O₂于点C，且交⊙O₁于点B，AP的延长线交⊙O₂于点D．
（1）求证：∠BPC=∠CPD；
（2）若⊙O₁半径是⊙O₂半径的2倍，PD=10，AB=7

6

，求PC的长．

Answer 1

分析：（1）根据弦切角定理得出∠PAB=∠BPE，利用切线长定理得出EP=EC，再利用三角形的外角性质得出∠CPD=∠EPC+∠BPE，即可得出答案；
（2）首先得出△O₁PA∽△O₂DP，求出AP的长，进而得出BC的长，再利用△DPC∽△CPB，△APC∽△ACD，即可得出PC，CD的关系即可得出PC的长．

解答：（1）证明：如图1，过点P作两圆的公切线PE，交BC于点E，
∵⊙O₁与⊙O₂外切于点P，直线AC切⊙O₂于点C，
∴EP=EC，∠PAB=∠BPE，
∴∠ECP=∠EPC，
又∵∠PAC+∠ACP=∠CPD，
∴∠CPD=∠EPC+∠BPE，
∴∠BPC=∠CPD；

（2）解：如图2，连接O₁O₂，AO₁，DO₂，CD，
∵∠O₁PA=∠O₁AP，∠O₂DP=∠O₂PD，∠O₁PA=∠O₂PD，
∴∠O₁PA=∠O₁AP=∠O₂DP=∠O₂PD，
∴△O₁PA∽△O₂DP，
∴

AO1

DO2

=

AP

PD

=

2

1

，
∵PD=10，
∴AP=20，
∵直线AC切⊙O₂于点C，
∴AC²=AP×AD=（20+10）×20=600，
∴AC=10

6

，
∵AB=7

6

，
∴BC=3

6

，
∵直线AC切⊙O₂于点C，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PDC=∠BPC，
∴△DPC∽△CPB，
∴

BC

CD

=

PC

PD

，
∴

3 6

CD

=

PC

10

，
∵∠CAP=∠DAC，∠PCA=∠CDA，
∴△APC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

PC

CD

=

10 6

30

=

6

3

，
∴CD=

6

2

PC，
∴

3 6

6 2 PC

=

PC

10

，
解得：PC=2

15

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及弦切角定理和相似三角形的性质和判定，根据已知得出PC与CD的比例关系是解题关键．