Question

19．如图，已知△ABC中，AB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，BC=6．点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，则线段MN的长=3或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 分别从当$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$时，△AMN∽△ABC与当$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{MN}{BC}$时，△AMN∽△ACB，去分析求解即可求得答案．

解答 解：∵△ABC中，AB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，BC=6．点M为AB的中点，
∴AM=$\sqrt{5}$，
∴当$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$时，△AMN∽△ABC，
即$\frac{MN}{6}$=$\frac{1}{2}$，
解得：MN=3；
当$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{MN}{BC}$时，△AMN∽△ACB，
即$\frac{MN}{6}=\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$，
解得：MN=$\frac{3}{2}$，
∴MN=3或$\frac{3}{2}$．
故答案为：3或$\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定．注意从△AMN∽△ABC与△AMN∽△ACB两方面去分析求解．