题目内容
两抛物线y=x2+2ax+b2和y=x2+2cx-b2与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c是正数，a≠c，试判断以a、b、c为边的三角形的形状．分析：求出x2+2ax+b2=0的两个根x1，x2；再求出方程x2+2cx-b2=0的两根x3，x4；分四种情况进行计算即可作出判断：①x1=x3，②x2=x4，③x1=x4，④x2=x3．
解答：解：解方程x2+2ax+b2=0得，
x1=
=-a+
，
x2=
=-a-
，
解方程x2+2cx-b2=0得，
x3=
=-c+
，
x4=
=-c-
．
∵两抛物线y=x2+2ax+b2和y=x2+2cx-b2与x轴交于同一点，
∴方程x2+2ax+b2=0和x2+2cx-b2=0有一个相同的根，
∴①x1=x3，-a+
=-c+
；
移项得，c-a=
-
，
∵a≠c，
两边平方得，c2+a2-2ac=c2+b2+a2-b2-2
•
，
整理得，ac=
•
，
两边平方得，a2c2=（c2-b2）（a2-b2），
整理得，c2+b2=a2．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x2=x4时，得相同结果；
③x1=x4时，解得，等式不成立；
④x2=x3时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．
x1=
-2a+
| ||
| 2 |
| a2-b2 |
x2=
-2a-
| ||
| 2 |
| a2-b2 |
解方程x2+2cx-b2=0得，
x3=
-2c+
| ||
| 2 |
| c2+b2 |
x4=
-2c-
| ||
| 2 |
| c2+b2 |
∵两抛物线y=x2+2ax+b2和y=x2+2cx-b2与x轴交于同一点，
∴方程x2+2ax+b2=0和x2+2cx-b2=0有一个相同的根，
∴①x1=x3，-a+
| a2-b2 |
| c2+b2 |
移项得，c-a=
| c2+b2 |
| a2-b2 |
∵a≠c，
两边平方得，c2+a2-2ac=c2+b2+a2-b2-2
| c2+b2 |
| a2-b2 |
整理得，ac=
| c2+b2 |
| a2-b2 |
两边平方得，a2c2=（c2-b2）（a2-b2），
整理得，c2+b2=a2．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x2=x4时，得相同结果；
③x1=x4时，解得，等式不成立；
④x2=x3时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点与二次函数与一元二次方程的关系，求出方程的解，列出等式，是解题的关键．解答时要注意分类讨论．
练习册系列答案
相关题目
两抛物线y=x2+2ax+b2和y=x2+2cx-b2与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是（ ）
| A、等腰直角三角形 | B、直角三角形 | C、等腰三角形 | D、等腰或直角三角形 |