Question

两抛物线y=x²+2ax+b²和y=x²+2cx-b²与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是（　　）

• A、等腰直角三角形
• B、直角三角形
• C、等腰三角形
• D、等腰或直角三角形

Answer 1

分析：由于两抛物线y=x²+2ax+b²和y=x²+2cx-b²与x轴交于同一点（非原点），可以设两抛物线交于x轴（x₀，0）（x₀≠0），然后分别代入函数的解析式即可得到

x02+2ax0+b2=0① x02+2cx0-b2=0②

，①+②，①-②即可得到a、b、c的关系，由此即可解决问题．

解答：解：设两抛物线交于x轴（x₀，0）（x₀≠0），
则有：

x02+2ax0+b2=0① x02+2cx0-b2=0②

，
①+②得2x₀²+2（a+c）x₀=0，
∵x₀≠0，
∴x₀=-（a+c）．
①-②得2（a-c）x₀+2b²=0，
∴x0=

b2

c-a

，
∴

b2

c-a

=-(a+c)，b2=a2-c2，
即a²=b²+c²，
所以为直角三角形．
故选B．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据两个抛物线交于x轴同一点得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题．