Question

4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF．则①四边形AECD为平行四边形；②△AEF为等边三角形；③△FDC与△BEF为全等的等腰三角形；④△AFB≌△EFC，其中正确的结论有①②③④（写出正确的序号即可）

Answer 1

分析 ①由AB=2CD，E为AB的中点，可得AE=CD，又AB∥DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECD为平行四边形，从而判断①正确；
②连结DE．由BE=CD，BE∥CD，∠EBC=90°，可得四边形EBCD是矩形，那么可求∠AED=90°，又F为AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到EF=AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，又∠A=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AEF为等边三角形，从而判断②正确；
③先证明DF=CD=BE=EF，得出△FDC与△BEF都为等腰三角形．再根据SAS证明△FDC≌△BEF，那么△FDC与△BEF为全等的等腰三角形，从而判断③正确；
④根据SAS即可证明△AFB≌△EFC，从而判断④正确．

解答 解：①∵AB=2CD，E为AB的中点，即AB=2AE=2BE，
∴AE=CD，
∵AB∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，故①正确；
②连结DE．
∵BE=CD，BE∥CD，∠EBC=90°，
∴四边形EBCD是矩形，
∴∠BED=90°，
∴∠AED=90°，
∵F为AD的中点，
∴EF=AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠A=60°，
∴△AEF为等边三角形，故②正确；
③∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠AEF=60°，
∵AF=DF，AE=BE=CD，
∴DF=CD=BE=EF，
∴△FDC与△BEF都为等腰三角形．
在△FDC与△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=EB}\\{∠FDC=∠BEF=120°}\\{DC=EF}\end{array}\right.$，
∴△FDC≌△BEF（SAS），
∴△FDC与△BEF为全等的等腰三角形，故③正确；
④∵四边形AECD为平行四边形，
∴CE∥AD，
∴∠CEB=∠A=60°，
∴∠FEC=180°-∠AEF-∠CEB=180°-60°-60°=60°，
∵∠EBC=90°，
∴∠ECB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$EC，EC=2BE，
∵AB=2BE，
∴AB=EC．
在△AFB与△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EF}\\{∠A=∠FEC=60°}\\{AB=EC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△EFC（SAS），故④正确．
故答案为①②③④．

点评 本题是四边形综合题，其中涉及到平行四边形、矩形、全等三角形的判定与性质，等边三角形、等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．