Question

如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧

BC

上一点，连接 BD，AD，OC，∠ADB=30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据垂径定理得出BE=CE，

AB

=

AC

，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；
（2）先根据勾股定理得出OE的长，再连接OB，求出∠BOC的度数，再根据S_阴影=S_扇形OBC-S_△OBC计算即可．

解答：解：（1）连接OB，
∵BC⊥OA，
∴BE=CE，

AB

=

AC

，
又∵∠ADB=30°，
∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB，
∴∠AOC=60°；

（2）∵BC=6，
∴CE=

1

2

BC=3，
在Rt△OCE中，OC=

CE

sin60°

=2

3

，
∴OE=

OC2-CE2

=

4×3-9

=

3

，
∵

AB

=

AC

，
∴∠BOC=2∠AOC=120°，
∴S_阴影=S_扇形OBC-S_△OBC
=

120

360

×π×（2

3

）²-

1

2

×6×

3

=4π-3

3

（cm²）．

点评：本题考查的是垂径定理，涉及到圆周角定理及扇形面积的计算，勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键．