Question

17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D位抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．
（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD，BD，DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S_△OCE=S_{四边形OCDB}，求此时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线已知，则可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角．
（2）因为抛物线已固定，则S_{四边形OCDB}固定，对于坐标系中的不规则图形常用分割求和、填补求差等方法求面积，本图形过顶点作x轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形，面积易得．由此可得E点坐标，进而可求ED直线方程，与抛物线解析式联立求解即得P点坐标．

解答 解：（1）∵y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴由题意得，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）．
在Rt△OBC中，
∵OC=OB=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°．

（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，

此时S_{四边形OCDB}=S_梯形OCDH+S_△HBD，
∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，
∴S_梯形OCDH=$\frac{1}{2}$•（OC+HD）•OH=$\frac{7}{2}$，
S_△HBD=$\frac{1}{2}$•HD•HB=4，
∴S_{四边形OCDB}=$\frac{15}{2}$．
∴S_△OCE=S_{四边形OCDB}=$\frac{15}{2}$=$\frac{1}{2}$•OC•OE，
∴OE=5，
∴E（5，0）．
设l_DE：y=kx+b，
∵D（1，-4），E（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴l_DE：y=x-5．
∵DE交抛物线于P，设P（x，y），
∴x²-2x-3=x-5，
解得 x=2 或x=1（D点，舍去），
∴x_P=2，代入l_DE：y=x-5，
∴P（2，-3）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握待定系数法求直线解析式、直角三角形性质及割补法求四边形的面积、直线和抛物线交点问题是解题的关键．