Question

10．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，AE平分∠BAF，且EF⊥AF于点F．若AB=5，AD=4，则EF=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先判定Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），再根据勾股定理求得DF的长，最后设EF=EB=x，在Rt△CEF中根据勾股定理列出方程求解即可．

解答 解：∵AE平分∠BAF，且EF⊥AF，∠B=90°
∴EF=EB
在Rt△ABE和Rt△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EF=EB}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）
∴AF=AB=5
又∵AD=4，∠D=90°
∴Rt△ADE中，DF=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3
∴CF=5-3=2
设EF=EB=x，则CE=4-x
在Rt△CEF中，2²+（4-x）²=x²
解得x=$\frac{5}{2}$
即EF=$\frac{5}{2}$
故答案为：$\frac{5}{2}$

点评 本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的对边相等，四个角都是直角，这是运用勾股定理的前提条件．根据勾股定理列方程求解，是解决问题的关键．