题目内容

如图，△ABO中，O是坐标原点，A $数学公式$ ，B $数学公式$ ．
（1）①以原点O为位似中心，将△ABO放大，使变换后得到的△CDO与△ABO的位似比为2：1，且D在第一象限内，则C点坐标为（，）；D点坐标为（，）；
②将△DOC沿OD折叠，点C落在第一象限的E处，画出图形，并求出点E的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）过（1）中的E、C两点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线EC段（不包括C、E点）上是否存在一点M，使得四边形MEOC面积最大？若存在，求出这个最大值，并求出此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）①由题意知：OC=2OA=2 $\text{[math]}$ ，
CD=2AB=2；
故C（2 $\text{[math]}$ ，0），D（2 $\text{[math]}$ ，2）；
②如图，过E作EF⊥y轴于F；
Rt△OCD中，OC=2 $\text{[math]}$ ，CD=2，则有：
∠DOC=30°；
根据折叠的性质知：
OE=OC=2 $\text{[math]}$ ，∠EOD=∠DOC=30°；
在Rt△OEF中，OE=2 $\text{[math]}$ ，∠FOE=30°，
则：FE= $\text{[math]}$ ，OF=3，
故E（ $\text{[math]}$ ，3）．

（2）由于抛物线经过E（ $\text{[math]}$ ，3），C（2 $\text{[math]}$ ，0），依题意有：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2 $\text{[math]}$ x；

（3）过M作MN∥y轴，交CE于N；
∵E（ $\text{[math]}$ ，3），C（2 $\text{[math]}$ ，0），
∴直线EC：y=- $\text{[math]}$ x+6；
设M（x，-x²+2 $\text{[math]}$ x），则N（x，- $\text{[math]}$ x+6），
∴MN=-x²+2 $\text{[math]}$ x-（- $\text{[math]}$ x+6）=-x²+3 $\text{[math]}$ x-6；
∴四边形EMCO的面积S=S_△EMC+S_△EOC
= $\text{[math]}$ ×（-x²+3 $\text{[math]}$ x-6）× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×3
=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ；
∴当x= $\text{[math]}$ ，即M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，四边形OEMC的面积最大，且最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）①首先根据点D的位置确定△COD的位置，然后根据位似比作图，即可得到点C、D的坐标；
②可过E作y轴的垂线，设垂足为F，由于△ODE是由△ODC翻折而得，故OE=OC=2 $\text{[math]}$ ，∠EOD=∠COD=30°，根据这些条件，即可在Rt△OEF中，通过解直角三角形求出点E的坐标．
（2）在（1）题中，已经求得了E、C的坐标，利用待定系数法求解即可．
（3）四边形MEOC中，△OEC的面积是定值，若四边形的面积最大，则△EMC的面积最大；过M作MN∥y轴，交直线CE于N，设出点M的横坐标，根据抛物线和直线CE的解析式即可得到MN的长，以MN为底，C、E横坐标差的绝对值为高，即可得到△EMC的面积表达式，进而可得到关于四边形MEOC的面积和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得到四边形的面积最大值，及对应的M点坐标．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到图形的位似变化、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标及图形面积的求法、二次函数最值的应用等重要知识点，综合性强，难度较大．